Simmetrie di Lie e Lie-Bäcklund per equazioni differenziali

Abstract

Nella presente nota vengono presentati i metodi che si utilizzano per risolvere equazioni differenziali usando l’esistenza di trasformazioni di simmetria, spesso non ovvie, che lasciano un’equazione differenziale invariante. In particolare per un’equazione differenziale ordinaria l’esistenza di simmetrie permette di ridurre l’ordine, possibilmente integrarla ed, in ogni modo, ottenere soluzioni particolari. Nel caso di equazioni alle derivate si riduce il numero delle variabili indipendenti e si ottengono soluzioni particolari. Se l’equazione alle derivate parziali è non-lineare ed appartiene alla classe delle equazioni così dette integrabili, allora possiamo trovare classi di simmetrie dipendenti dalle derivate di ordine più elevato ed operatori differenziali che collegano le simmetrie tra di loro.